La scommessa di Pascal e il pensiero probabilistico

Blaise Pascal, grande matematico francese del ‘600, con la sua celebre “scommessa” ha gettato le fondamenta per la moderna teoria delle decisioni.

Blaise Pascal, il grande matematico e filosofo francese, è considerato uno dei padri del pensiero probabilistico. Il versetto 233 dei suoi Pensées, scritti attorno al 1660 mentre si trovava nel monastero parigino di Port-Royal, è passato alla storia come la scommessa di Pascal (in inglese “Pascal wager”) e ha segnato la nascita della moderna teoria delle decisioni. 

Dopo un’esperienza mistica nel 1654 che lo segnò profondamente, nell’ultima parte della sua vita Pascal si dedicò a riflessioni sulla vita e sulla religione. Lo studioso francese era consapevole che il grande tema dell’esistenza di Dio non potesse essere spiegato razionalmente: “Dio esiste o no? Ma da qual parte inclineremo? La ragione qui non può determinare nulla”. Tuttavia Pascal, che aveva dedicato buona parte della sua vita allo studio statistico dei giochi d’azzardo, decise di porre la questione “se credere o meno”, in termini di una scommessa probabilistica, appunto la famosa scommessa di Pascal. Nello specifico, se siamo credenti e Dio esiste, la ricompensa sarà un benessere infinito mentre se Dio non esistesse il nostro costo sarebbe limitato a qualche rinuncia ai piaceri terreni. Al contrario se non crediamo e Dio esiste, subiremmo una dannazione eterna mentre se abbiamo ragione il nostro guadagno sarebbe limitato a qualche piacere in più derivante da una vita libertina. Il payoff della scommessa di Pascal è rappresentato nella tabella 1 sottostante.

Analizzando il payoff atteso della scommessa di Pascal, è evidente che la scelta più razionale sia quella di credere: ho un costo limitato se ho torto a fronte di un guadagno infinito se ho ragione. E’ bene notare come Pascal non voglia quantificare la probabilità dell’esistenza di Dio: per credere è sufficiente assegnare a questa ipotesi una probabilità maggiore di zero.

La scommessa di Pascal è il primo esempio storico di analisi del valore atteso (expected value analysis), uno dei pilastri della teoria delle decisioni. Pascal sottolinea come in una scelta in condizioni di incertezza occorra considerare non solo le probabilità di un evento, ma anche le sue conseguenze: il valore atteso di una scelta è infatti pari al prodotto tra probabilità e risultato dei diversi scenari possibili.

Asimmetrie

Adottare un modello di pensiero probabilistico diventa particolarmente efficace quando siamo in presenza di situazioni con probabilità e conseguenze asimmetriche. La stessa scommessa di Pascal, come abbiamo appena visto, ha conseguenze fortemente asimmetriche.

Nassim Taleb, nel suo libro Fooled By Randomness: The Hidden Role Of Chance In Life And In The Markets, racconta un episodio di quando lavorava come trader in una banca d’investimento di New York. Durante il comitato investimenti settimanale, gli fu chiesto un parere sulle prospettive del mercato azionario per la settimana successiva. Taleb rispose che il mercato aveva un’alta probabilità, circa il 70%, di mettere a segno un guadagno limitato. Allora qualcuno lo interruppe: “Ma Nassim, ti sei appena vantato di essere negativo sullo S&P500 e di essere posizionato per una sua discesa! Cosa ti ha fatto cambiare idea?”. “Non ho cambiato idea! Anzi ho voglia di posizionarmi ancora più negativo!”. I colleghi nella stanza sembravano confusi. In realtà Taleb, così come fatto da Pascal qualche secolo prima, stava adottando un approccio probabilistico: la sua opinione era che fosse più probabile che il mercato salisse, ma che era preferibile essere negativi perché nel caso fosse sceso, avrebbe potuto perdere molto.

Supponiamo di pensare che nel corso della prossima settimana il mercato abbia una probabilità del 70% di mettere a segno un guadagno medio dell’1% ma che nel rimanente 30% ci sia il rischio di perdere il 10%, perchè per esempio potrebbe uscire una notizia che potrebbe destabilizzare il mercato. Come ci dovremmo comportare? Il payoff di questa situazione è rappresentato nella tabella 2.

Il valore atteso della scommessa sul mercato azionario è pari a -2,3%: dovremmo quindi avere un posizionamento difensivo. Quel che conta non è quanto sia probabile un evento, ma quanto si guadagni o si perda quando quell’evento accade.

“La probabilità e il valore atteso non sono la stessa cosa: il valore atteso è la probabilità moltiplicata per il pay off.” (Nassim Nicholas Taleb)

“Sottrai la probabilità di perdita moltiplicata per l’ammontare di perdita potenziale dalla probabilità di guadagno moltiplicata per l’ammontare di guadagno potenziale. Non è perfetto, ma questo è il nocciolo della questione.” (Warren Buffett)

Eventi rari

La scommessa di Pascal ha implicazioni importanti nel campo degli eventi rari. Si tratta infatti di eventi di cui è molto difficile calcolare le probabilità mentre è molto più semplice constatarne i possibili impatti. L’approccio introdotto dal matematico francese riconsidera l’idea stessa di conoscenza degli eventi rari: riduce la necessità di comprenderne le probabilità spostando il focus sulle conseguenze. 

Non conosco le probabilità di un terremoto ma posso immaginare le conseguenze che potrebbe avere su San Francisco: posso quindi valutare se assumermi il rischio o meno di vivere nella Bay Area. Allo stesso modo non posso prevedere le probabilità di un crollo azionario ma se ho un portafoglio molto rischioso, è facile calcolare quanto potrei perdere nel caso si dovesse ripetere una situazione simile a quella del 2001 o del 2008 quando il mercato perse circa il 50%. 

L’approccio probabilistico nel processo decisionale

In un contesti dominati dall’incertezza, l’approccio probabilistico deve costituire un pilastro del nostro processo decisionale.

In particolare dobbiamo fare attenzione a due aspetti.

1. Probabilità e conseguenze devono essere valutate insieme e devono avere entrambe la giusta considerazione. Generalmente mettiamo grande attenzione nel calcolo delle probabilità degli eventi futuri ma tendiamo a trascurare la valutazione delle possibili conseguenze. In sostanza siamo molto interessati a sapere se il mercato sale o scende, ma spesso dimentichiamo di chiederci quanto sale se sale e quanto scende se scende.
    
2. Se stimiamo che un progetto, un investimento o una qualsiasi decisione abbia un’elevata probabilità di successo, tendiamo quasi sempre a non pesare a sufficienza le conseguenze negative degli scenari di insuccesso, perché ritenuti poco probabili. Oltre a valutare le probabilità di successo di un progetto, dovremmo sempre chiederci: che cosa accade se le cose non vanno come previsto? Ho messo in piedi le giuste strategie di gestione del rischio? Ho adottato i giusti margini di sicurezza per poter continuare a rimanere in gioco se le cose non vanno come previsto? (vedi anche articolo Il ruolo della fortuna)

L’attenzione a questi due semplici principi del pensiero probabilistico rende il processo decisionale molto più solido rispetto agli scherzi della fortuna.

Bibliografia:

Bernstein, Peter L. Against the Gods: The Remarkable Story of Risk. John Wiley & Sons, 1998.

Ellenberg, Jordan. How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking. Penguin Books, 2014.

Taleb, Nassim N. Fooled by Randomness: The Hidden Role of Chance in Life and in the Markets. Penguin Books, 2007.

Taleb, Nassim N. The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. Random House, 2010.