Come ragiona “La Regina degli Scacchi”

La tecnica del ragionamento all’indietro è molto efficace per valutare una successione di eventi incerti o l’interazione strategica tra diversi giocatori, come nel caso degli scacchi.

Il filosofo danese Søren Kierkegaard, considerato il padre dell’esistenzialismo, nel suo Diario affermò che “la vita può essere compresa solo all’indietro ma va vissuta in avanti.”

“La vita può essere compresa solo all’indietro ma va vissuta in avanti.” (Søren Kierkegaard).

La frase di Kierkegaard sembrerebbe prefigurare una sorta paradosso: se fosse possibile comprendere la vita solo guardandosi all’indietro allora come faremmo a prendere decisioni efficaci in relazione ad eventi futuri incerti? La soluzione adottata in teoria delle decisioni sembra prendere spunto proprio dal paradosso di Kierkegaard: prevede infatti di immaginare i possibili percorsi futuri (spostarsi in avanti), valutarne in anticipo le probabilità e/o gli esiti e ragionare all’indietro (comprendere all’indietro) per capire quale sia la migliore scelta da effettuare oggi, in funzione del percorso che sarà in grado di generare. 

Questo modello di pensiero, definito appunto ragionamento all’indietro (backward reasoning) è alla base della teoria degli alberi decisionali, uno degli strumenti più potenti a nostra disposizione quando dobbiamo valutare una successione di eventi incerti oppure una sequenza di decisioni.

Trade off short term/long term

Proiettarsi nel futuro e ragionare all’indietro porta spesso a scelte che potrebbero sembrare controintuitive nel breve periodo, ma perfettamente razionali perché ci posizionano su un percorso, su un ramo dell’albero decisionale che nel lungo periodo ci può portare a soddisfazioni maggiori.

Posso decidere ad esempio, tra due offerte di lavoro, quella che mi paga meno, perché proiettandomi nel futuro mi potrebbe aprire prospettive migliori o incrementare significativamente le possibilità di fare un giorno il lavoro che mi piace veramente. 

Le scelte che compiamo potrebbero quindi comportare un trade off breve periodo/lungo periodo, cioè sacrifici o minori vantaggi immediati per ottenere maggiori risultati domani e potrebbero per questo non essere pienamente comprese da chi ci circonda e risultare impopolari: questo perchè gli altri vedono solo uno step, quello connesso alla decisione immediata, e non hanno in testa le ramificazioni del tuo albero decisionale. Una caratteristica distintiva dei manager di successo è la capacità di prendere decisioni che possono avere un impatto negativo di breve ma che servono per posizionare l’azienda su un percorso migliore nel lungo periodo.

L’albero delle decisioni e le scommesse sportive

Quando nel 1650 incontrò Blaise Pascal, il Cavaliere de Méré, stava discutendo con alcuni matematici francesi del “problema dei punti” che era stato sollevato dal frate francescano Paccioli nel 1494 ed era rimasto da allora irrisolto: come suddividere la posta nel caso si dovesse interrompere prima della fine un gioco di scommesse, ad esempio chi fa più teste in 9 lanci di moneta.

Il Cavaliere chiese a Pascal di lavorare alla risoluzione del problema. Pascal decise di accettare la sfida, ma non volle farlo da solo: fu messo in contatto con Pierre de Fermat, un avvocato di Tolosa esperto di matematica. Il carteggio che iniziò tra i due ha posto le basi per la moderna teoria del calcolo delle probabilità. 

Una moderna formulazione del problema dei punti è la seguente. Siamo nella finale dei playoff NBA tra Lakers (LAL) e Miami (MIA), ed il punteggio è 2 – 1 per i Lakers. Quali sono le probabilità che i LAL vincano al meglio del delle 7 partite (4 vittorie totali)? Il ragionamento di Pascal e Fermat, basato sulla matematica delle permutazioni e delle combinazioni, può essere esemplificato attraverso un albero decisionale che incorpora tutte le possibili combinazioni di risultati a partire dal 2-1 (vedi figura 1).

Se ipotizziamo che le probabilità di vittoria di ogni singola partita siano il 50% per ciascuna squadra, sommando le probabilità di tutti i percorsi che conducono a 4 vittorie complessive dei Lakers (frecce nere) otteniamo il 69%. Che cosa significa? Significa che se siamo sul 2-1 e volessimo scommettere sulla vittoria dei Lakers la quota “fair” sarebbe di 1,45 (1/0,69) (per semplicità non consideriamo i costi dell’agenzia). Possiamo anche ragionare al contrario: se i Lakers sono sul 2-1 e le agenzie mi quotano la vittoria della serie a 1,45 significa che stanno implicitamente assumendo una probabilità di vittoria del 50% nelle singole partite. Se io penso che i Lakers siano più forti, cioè che ad esempio abbiamo una probabilità di vittoria nella singola partita del 60%, in questo caso avrei un forte incentivo a scommettere perché la quota giusta secondo i miei calcoli sarebbe 1,22 cioè molto più bassa (in questo caso infatti la probabilità di vincere la serie a partire dal 2-1 sale all’82% e 1/0,82 = 1,22).

La teoria degli alberi decisionali è quindi uno strumento di ragionamento molto potente non solo per vincere alle scommesse ma anche, in generale, per valutare una successione di eventi incerti. Non è un caso se Charlie Munger ha affermato “uno dei vantaggi di un tipo come Buffett è che pensa automaticamente in termini di alberi decisionali e usa la matematica elementare delle permutazioni e delle combinazioni.”

Le decisioni degli altri: dall’albero delle decisioni all’albero dei giochi

Quando le nostre decisioni generano delle reazioni delle altre persone e/o aziende con cui ci troviamo a interagire, non si parla più di albero delle decisioni ma di albero dei giochi: l’interazione strategica tra due o più attori è infatti oggetto di studio approfondito da parte della teoria dei giochi.

In presenza degli alberi dei giochi il ragionamento si fa ancora più difficile perché ogni giocatore prima di effettuare la sua scelta deve tenere in considerazione le possibili risposte degli altri giocatori. Supponiamo di essere il responsabile della Ricerca e Sviluppo di una grande azienda: stiamo valutando se andare dal CEO a proporre dei nuovi progetti in cui investire. Ci piacerebbe iniziare un nuovo progetto che chiameremo X: sappiamo però che il CEO non lo gradisce e preferirebbe investire nel progetto Y. Come dovremmo comportarci? I possibili scenari sono 4: il payoff di ciascuno è raffigurato nella tabella sottostante:

Se propongo entrambi i progetti sia io che il CEO abbiamo un payoff di 3. Nel caso in cui propongo X, il CEO ha 1 e io 4 e il contrario se propongo solo Y. Se rinuncio a fare qualsiasi proposta abbiamo entrambi 2. L’equilibrio che si determina può essere compreso guardando l’albero dei giochi nella figura 2.

La soluzione di equilibrio risulta quella in cui presento entrambi i progetti: sia io che il CEO abbiamo un un payoff migliore rispetto allo status quo. In sostanza per fare approvare un progetto che mi piace devo infilare nel pacchetto anche un progetto che piace al CEO. 

E’ ovvio che in presenza di vari giocatori è molto importante comprendere il loro punto di vista, cioè quale payoff ottengono come conseguenza della nostre scelte, il che è molto differente dal pensare cosa faremmo noi al loro posto. Nel caso specifico la nostra assunzione determinante è che il CEO abbia un payoff più alto se presento entrambi i progetti (3) rispetto a non presentare nulla (2).

In generale, in un contesto sempre più interconnesso, occorre valutare con grande attenzione, gli effetti di secondo/terzo/n-esimo livello sugli altri attori del sistema in cui stiamo operando, cioè percorrere i diversi rami di un ipotetico albero dei giochi che prevede ad ogni nodo le possibili reazioni degli altri giocatori con cui interagiamo. Le aziende, i mercati finanziari, la politica, le società sono sistemi complessi e interattivi: anche il nostro pensiero e le nostre scelte devono tenerne conto. 

Prendi l’ultima carta!

Alcuni tipi di situazioni di moderata complessità, si prestano ad essere risolte completamente con il ragionamento all’indietro. Supponiamo di avere due squadre, bianca e blu, e 21 carte sul tavolo. Ogni squadra al suo turno può prendere 1 o 2 oppure 3 carte. Il gruppo che prende l’ultima carta al suo turno vince il gioco. La squadra bianca fa la prima mossa: se tu fossi nella squadra bianca quante carte prenderesti?

Partiamo dalla fine. La situazione in cui vorrei lasciare la squadra blu all’ultimo turno è con 4 carte. Qualsiasi numero di carte scegliessero (1, 2 o 3) al turno successivo io vincerei (ne prenderei 3, 2 o 1). Per ottenere questo risultato devo fare in modo che ci siano 8 carte al loro penultimo turno: con lo stesso ragionamento di prima, posso sempre fare in modo di lasciarne 4 sul tavolo. E andando a ritroso devo lasciarli prima con 12, prima ancora con 16 e all’inizio con 20. Ne deriva che al primo turno devo prendere solo 1 carta. In questo modo, se ho capito la strategia, sono sicuro di vincere il gioco. 

Se faccio parte della squadra blu devo invece sperare in un errore alla prima mossa dei miei avversari: se il primo giocatore dei bianchi sceglie ad esempio di prendere 2 carte, io ne prendo 3 lasciandone 16: a questo punto ho la vittoria in pugno. 

“La Regina degli Scacchi”

In linea di principio gli scacchi sono il gioco ideale in cui applicare l’approccio del ragionamento all’indietro: i giocatori effettuano le mosse in sequenza, tutte le mosse sono osservabili e non ci sono incertezze in relazione agli obiettivi. Tuttavia il numero di mosse possibili nel gioco degli scacchi è talmente elevato che neppure il computer più potente sarebbe in grado di calcolare tutte le possibili alternative e arrivare a definire il percorso verso la vittoria a partire dall’inizio. Ovviamente questo vale a maggior ragione anche per i campioni, che generalmente riescono a vedere in avanti fino a 5 paia di mosse e possono concentrarsi solo su poche alternative.  Qual è quindi la strategia utilizzata dai grandi maestri di scacchi?

Quando ci sono ancora un numero elevato di pezzi sulla scacchiera e i percorsi possibili sono molteplici, i giocatori non possono che basarsi sulla conoscenza, derivante dallo studio di un gran numero di partite giocate in passato da altri grandi giocatori, che hanno dato origine a schemi guida e relative varianti codificati nel tempo. Non a caso ci sono migliaia di libri dedicati alle strategie della fase di apertura, cioè delle prime 10 o anche 15 mosse. Grazie a questa conoscenza, nella fase iniziale e centrale del gioco i campioni sono in grado di riconoscere alcuni pattern che possono essere sfruttati: in questo modo possono focalizzarsi solo su un paio di percorsi possibili senza dover quindi valutare tutte le possibili alternative.

Un discorso diverso invece si applica alla parte finale delle partite: con pochi pezzi sul tavolo ci sono meno opzioni percorribili e c’è la possibilità di “vedere” il gioco fino alla fine: il ragionamento al contrario diventa determinante. Nella Regina degli Scacchi, la serie Netflix più vista del 2020, durante la finale in Russia il campione Borgov chiede la sospensione della partita che viene così rinviata al giorno successivo. Beth Harmon, la campionessa americana protagonista della serie, la mattina dopo al risveglio, poco prima di riprendere il match, riceve una telefonata: i suoi amici negli Stati Uniti hanno studiato durante la notte tutti i possibili percorsi fino alla vittoria, adottando quindi lo schema dell’albero dei giochi (vedi qui la scena).

Beth, una giocatrice solitamente istintiva e poco avvezza ai calcoli, li memorizza con pazienza ad uno ad uno e grazie al ragionamento all’indietro riesce a sconfiggere il campione russo.

Conclusioni

La tecnica del ragionamento all’indietro è uno strumento molto utile per valutare sequenze di eventi incerti. Ci può facilitare nel prendere decisioni che oggi potrebbero sembrare difficili o impopolari ma che sono funzionali a posizionarci su un percorso migliore di lungo periodo; ci aiuta a comprendere meglio le probabilità degli eventi e a valutare le reazioni degli altri attori con cui interagiamo.

Il ragionamento all’indietro è uno modello di pensiero che va a completare la conoscenza e l’esperienza: come nel caso degli scacchi, quando ci sono ancora molte opzioni sul tavolo dobbiamo ricorrere alla conoscenza per capire quali percorsi esplorare. Ma quando siamo vicini alla fine e occorre sferrare l’attacco decisivo, ragionare all’indietro può fare la differenza.

Bibliografia:

Bernstein, Peter L. Against the Gods: The Remarkable Story of Risk. John Wiley & Sons, 1998.

Dixit, Avinash K. e Nalebuff, Barry J. The Art of Strategy. Norton, 2010.

Munger, Charles T. Poor Charlie’s Almanack. The Wit and Wisdom of Charles T. Munger. PCA Publication, 2011.